APPENDICE II — Testo Teorico Integrale

Quale altezza può raggiungere una catena oceanica sostenuta dalla spinta idrostatica proveniente da una corrente calda, ascendente entro il mantello? Si supponga che a una determinata profondità la corrente abbia una temperatura $\theta$ più elevata della temperatura media del mantello a quella profondità; chiamando $E$ il coefficiente di espansione volumetrica, un cubo di una quantità unitaria di massa in una colonna ascendente avrà il volume maggiore, rispetto a un cubo di materia che si trovi all'esterno della colonna, di una quantità $E\theta$; la sua densità cioè sarà inferiore della frazione $E\theta$. La densità entro la colonna ascendente è perciò inferiore di $\delta\rho = \rho_m E \theta$ rispetto a quella del mantello circostante, uguale a $\rho_m$.

Se $d$ è la profondità a cui si trova la colonna calda, il difetto di massa per area unitaria sarà pari a $\rho_m E \theta d$. La forza della spinta idrostatica per unità di area, agente verso l'alto, è pari a questo difetto di massa moltiplicato per l'accelerazione di gravità $g$:

Secondo la nostra ipotesi questa forza compensa l'eccesso di peso della catena. Se $h$ è la sua altezza e $\rho$ e $\rho_w$ sono le densità della catena e dell'acqua circostante, la massa eccedente per un'area unitaria nell'ambito della catena è pari a $(\rho - \rho_w)h$ per unità di area, e il peso eccedente è:

Confrontando le equazioni (70) e (71) si ottiene:

da cui:

Introducendo ora dei valori approssimati ($\rho = \rho_m = 3$, $\rho_w = 1$, mentre per molte rocce $E$ è all'incirca pari a $2 \times 10^{-5}$ per grado centigrado) si ottiene:

Se $d = 300\text{ km}$ e $h = 1\text{ km}$, $\theta$ è circa di $100\text{ °C}$; la colonna ascendente deve perciò essere di circa $100\text{ °C}$ più calda del materiale circostante.