Riferimenti Storici e Bibliografici
Questa applicazione è stata sviluppata traendo ispirazione dalla pubblicazione monografica
"Divertirsi con il calcolatore: giochi, simulazioni e grafica",
a cura di Virginio Sala (Le Scienze S.p.A. Editore, Milano 1987).
L'algoritmo fa riferimento all'articolo:
"Tappezzeria per la mente: immagini al calcolatore, quasi, ma non del tutto, ripetitive"
di A. K. Dewdney, pubblicato su Le Scienze (1986).
Analisi dell'algoritmo di Barry Martin, reso celebre da A.K. Dewdney su Scientific American (1986).
1. Il Sistema Dinamico
Il Mandala di Hopalong è generato da un sistema dinamico discreto bidimensionale.
Data una posizione iniziale (x0, y0), le coordinate successive
sono calcolate iterativamente mediante la seguente trasformazione:
// Implementazione C-like del nucleo iterativo
for (int i = 0; i < iterazioni; i++) {
double sgn_x = (x > 0) ? 1.0 : (x < 0 ? -1.0 : 0.0);
//"Se il numero è positivo, il risultato è 1;
//se è negativo, il risultato è -1;
//se invece è zero, il risultato rimane 0."
double next_x = y - sgn_x * sqrt(fabs(b * x - c));
double next_y = a - x;
x = next_x;
y = next_y;
disegna_punto(x, y);
}
2. L'Essenza dell'Attrattore: Ordine nel Caos
In matematica, un attrattore può essere immaginato come una "destinazione invisibile".
Anche se le singole iterazioni dell'algoritmo sembrano saltare in modo imprevedibile da un punto all'altro,
nel lungo periodo esse tendono ad accumularsi in una struttura geometrica ben definita.
Il Destino delle Orbite: Non importa quale sia il punto di partenza; dopo migliaia di calcoli, il sistema "cade" inevitabilmente lungo i rami del Mandala.
Struttura Frattale: Quello di Hopalong è un attrattore strano. La sua forma possiede un dettaglio infinito: più si ingrandisce, più emergono nuove trame simili a pizzi o filamenti.
Zone di Silenzio e di Luce: I vuoti sono zone dove l'equazione non può mai arrivare, mentre le linee brillanti sono i sentieri dove il sistema passa più frequentemente.
L'effetto grafico nell'App è la fotografia del comportamento a lungo termine di una formula: un equilibrio tra imprevedibilità locale e stabilità globale.
3. Significato dei Parametri
Parametro A: Definisce la torsione del sistema. Determina la rotazione delle orbite attorno all'origine. Valori diversi di a producono configurazioni che variano da strutture stellate a forme circolari.
Parametro B: Rappresenta il coefficiente di non-linearità. Regola la densità e la complessità dei filamenti. All'aumentare di b, l'attrattore manifesta proprietà caotiche più evidenti.
Parametro C: Agisce come un offset di traslazione all'interno della radice quadrata. Determina la comparsa di vuoti geometrici e la separazione dei rami del Mandala.
4. Comportamento Frattale
Nonostante la semplicità delle equazioni, il sistema produce un attrattore strano: un insieme di punti con dimensione frazionaria che riempie lo spazio in modo non uniforme, creando zone di accumulo di luce che percepiamo come "pizzo" o "seta".
5. Implementazione Numerica
Nell'implementazione moderna, utilizziamo la tecnica dell'accumulazione cromatica. La luminosità di un pixel è data dalla somma dei contributi di ogni passaggio: