Guida al Sistema Esagonale (Gruppo Dimetrico)

Analisi delle Forme Cristallografiche, Indici di Miller-Bravais (hkil), Classi di Simmetria e Minerali

Parametri del Modello Cristallografico 3D
Assi Equatoriali coplanari a 120° ad Asse Principale Senario Unico: a1 = a2 = a3 ≠ c, α = β = 90°, γ = 120°.
Notazione Crystallografica a 4 Indici di Miller-Bravais (h k i l) con vincolo fondamentale: h + k + i = 0.
Rapporto Assiale di Riferimento Simulato: c/a ≈ 1.633 (Modello ideale di impacchettamento compatto esagonale / Berillo / Grafite).
Visualizzatore 3D con Three.js e controlli di trasparenza, assi ed indici espliciti delle facce.
© Copyright Francesco Speciale & Gemini • Ottobre 2026

1. Geometria del Sistema e Assi Cristallografici (Miller-Bravais)

Il Sistema Esagonale (Gruppo Dimetrico) comprende tutti i cristalli caratterizzati da un unico asse di simmetria senario (asse d'ordine 6, di rotoinversione 6̄ o rototraslazione 6x). L'asse principale determina la direzione dell'asse verticale c, perpendicolare al piano equatoriale contenente i tre assi cristallografici equivalenti.

Relazioni Geometriche e Notazione a 4 Indici (hkil):

  • Metriche delle costanti reticolari: a1 = a2 = a3 = a ≠ c (tre assi equivalenti nel piano orizzontale a 120° ed un asse verticale di lunghezza differente).
  • Angoli interassiali: α = β = 90° (gli assi equatoriali sono ortogonali all'asse c), γ = 120° (angolo reciproco tra gli assi a1, a2 e a3 nel piano).
  • Condizione di Miller-Bravais: La notazione a 4 indici (h k i l) esprime le intercette inverse sui 4 assi. Il terzo indice i è matematicamente vincolato ai primi due dalla legge:
    h + k + i = 0  ⇒  i = −(h + k)
  • Rapporto Assiale (c/a): Caratteristico di ogni specie minerale esagonale (es. Berillo c/a = 0.996, Molybdenite c/a = 3.89, Zincite c/a = 1.60).
  • Orientamento convenzionale nel simulatore 3D:
    • a1: Inclinato di 30° rispetto all'asse cartesiano X.
    • a2: Ruotato di +120° da a1 nel piano equatoriale.
    • a3: Ruotato di +240° da a1 nel piano equatoriale.
    • c (+Z): Orientato verticalmente lungo l'asse senario di simmetria.

2. Le Classi di Simmetria del Sistema Esagonale e Minerali Guida

Il sistema esagonale (senza considerare il sottosistema trigonale a reticolo romboedrico) si articola nelle classi di simmetria caratterizzate da un asse senario. Di seguito sono analizzate le classi principali e i relativi minerali guida.

1. Classe Didesagonale Dipiramidale (Olocristallina)

Simbolo Hermann-Mauguin: 6/m 2/m 2/m (6/mmm)  |  Schönflies: D6h  |  Operazioni di simmetria: 24

Rappresenta la massima simmetria del sistema esagonale (1A6, 6A2, 7m, C). Presenta centro di inversione, 1 piano speculare orizzontale e 6 piani verticali.

  • Forme tipiche: Dipiramide Didesagonale {hk-il}, Dipiramide Esagonale I e II ordine, Prisma Didesagonale {hk-i0}, Prisma Esagonale I e II ordine, Pinacoide Basale {0001}.
  • Minerali significativi:
    • Berillo (Be3Al2Si6O18): Include varietà pregiate come Smeraldo e Acquamarina; forma perfetti prismi esagonali terminati da pinacoidi e dipiramidi.
    • Molybdenite (MoS2): Cristalli tabulari o lamellari con spiccata sfaldatura basale {0001}.
    • Pyrrhotite (Fe1-xS): Cristalli esagonali placcati o prismi tozzi.

2. Classe Didesagonale Piramidale (Emimorfa)

Simbolo Hermann-Mauguin: 6mm  |  Schönflies: C6v  |  Operazioni di simmetria: 12

Priva di centro di inversione e di piano orizzontale di simmetria. I cristalli sono polarizzati lungo l'asse c (emimorfismo).

  • Forme tipiche: Piramide Didesagonale, Piramide Esagonale, Pedion (faccia basale singola isolata).
  • Minerali significativi:
    • Zincite (ZnO): Cristalli piramidali polarizzati emimorfi.
    • Wurtzite (β-ZnS): Polimorfo esagonale ad alta temperatura della sfalerite.
    • Greenockite (CdS): Cristalli piramidali o tozzi emimorfi.

3. Classe Diitrigonale Dipiramidale

Simbolo Hermann-Mauguin: 6̄2m  |  Schönflies: D3h  |  Operazioni di simmetria: 12

L'asse principale è un asse di rotoinversione senaria (6̄), equivalente ad un asse ternario con piano di simmetria perpendicolare (3/m).

  • Forme tipiche: Dipiramide Diitrigonale, Prisma Diitrigonale, Dipiramide Trigonale, Pinacoide.
  • Minerali significativi:
    • Benitoite (BaTiSi3O9): Raro silicato con caratteristici cristalli dipiramidali trigonali.

4. Classe Trapezoedrica Esagonale (Enantiomorfa)

Simbolo Hermann-Mauguin: 622  |  Schönflies: D6  |  Operazioni di simmetria: 12

Contiene solo assi di rotazione pura (1A6, 6A2). Priva di piani di simmetria e centro; genera forme chirali destre e sinistre.

  • Forme tipiche: Trapezoedro Esagonale {hk-il} (enantiomorfo), Prismi Esagonali, Pinacoide.
  • Minerali significativi:
    • Quarzo-β (SiO2 alta temperatura): Polimorfo esagonale stazionario sopra i 573°C.
    • Kalsilite (KAlSiO4): Feldspatoide esagonale enantiomorfo.

5. Classe Dipiramidale Esagonale (Paramiedrica)

Simbolo Hermann-Mauguin: 6/m  |  Schönflies: C6h  |  Operazioni di simmetria: 12

Possiede l'asse senario verticale, un piano equatoriale di simmetria ed il centro di inversione, ma è priva di assi binari equatoriali.

  • Forme tipiche: Dipiramide Esagonale di III ordine, Prisma Esagonale di III ordine, Pinacoide Basale.
  • Minerali significativi:
    • Apatite [Ca5(PO4)3(F,Cl,OH)]: Cristalli prismatici ben formati terminati da dipiramidi di III ordine.
    • Vanadinite (Pb5(VO4)3Cl): Splendidi prismi esagonali rosso-arancio.
    • Pyromorphite (Pb5(PO4)3Cl): Cristalli prismatici a botte o calice.

3. Conversione dallo Spazio Reciproco Esagonale allo Spazio Cartesiano 3D

Nel simulatore 3D, le inclinazioni reali delle facce definite dai quattro indici di Miller-Bravais (h k i l) vengono convertite nei corrispondenti vettori normali cartesiani N = (Nx, Ny, Nz) per consentire la corretta costruzione dei poliedri in Three.js.

1. Trasformazione delle Normali dalle Coordinate di Miller-Bravais a Cartesiane:

Data una faccia con indici (h k i l) e rapporto assiale c/a, le componenti della normale unitaria nello spazio cartesiano 3D (dove Z è l'asse di rotazione senaria c) sono date da:

Nx = (2h + k) / √3
Ny = k
Nz = l / (c/a)

Il vettore normale risultante viene successivamente normalizzato: n = N / ||N||.

2. Risoluzione Analitica dei Vertici e Clipping delle Forme Aperte:

Ciascun vertice V del poliedro chiuso viene calcolato determinando l'intersezione esatta delle terne di piani facciali. Per le forme aperte (come i prismi), il sistema applica automaticamente dei piani di chiusura basale ortogonali lungo l'asse c posti a ±zmax per consentire la visualizzazione e la renderizzazione del solido finito.

4. Tabella Sinottica delle Forme del Sistema Esagonale

Nome Forma Indice (hkil) N° Facce Classe di Simmetria Minerali Esemplari
Pinacoide Basale {0001} 2 Olocristallina e classi con piano speculare h Berillo, Molybdenite, Grafite, Apatite
Prisma Esagonale I Ordine {10−10} 6 Didesagonale Dipiramidale (D6h) Berillo, Apatite, Zincite
Prisma Esagonale II Ordine {11−20} 6 Didesagonale Dipiramidale (D6h) Berillo, Pyrrhotite
Prisma Didesagonale {21−30} 12 Didesagonale Dipiramidale (D6h) Berillo
Dipiramide Esagonale I Ordine {10−11} 12 Didesagonale Dipiramidale (D6h) Berillo, Pyrrhotite
Dipiramide Esagonale II Ordine {11−21} 12 Didesagonale Dipiramidale (D6h) Berillo, Apatite
Dipiramide Didesagonale {21−31} 24 Didesagonale Dipiramidale (D6h) Berillo (forme complesse)
Dipiramide Esagonale III Ordine {21−31} 12 Dipiramidale Esagonale (C6h) Apatite, Vanadinite, Pyromorphite
Trapezoedro Esagonale {21−31} 12 Trapezoedrica Esagonale (D6) Quarzo-β, Kalsilite